----- Original Message ----- From: "Raphael Marx" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, April 19, 2004 1:58 PM Subject: [obm-l] matrizes
> Seja a matriz A de ordem n que admite a existêcia de sua inversa A^(-1). > Sabendo-se que a matriz admite a seguinte propriedade abaixo: > I e a matriz de identidade de ordem n > > > item a > > encontre uma matriz 2x2 onde vale a seguinte relação: > A + A^(-1) = I > Multiplicando por A e re-arranjando, obtemos A^2 - A + I = 0. Seja p(x) = x^2 - x + 1, cujas raízes são r = (1+raiz(5))/2 e 1/r = (1-raiz(5))/2. Tome A = diag(r,1/r). A é raiz do seu polinômio mínimo, igual a p(x) e, portanto, satisfaz a relação A + A^(-1) = I. > item b > > b pertence ao conjunto de inteiros {-2, -1,+1,+2} > k pertence aos naturais > A^k + A^(-k) = b*I > prove que b esta limitado somente e apenas somente àqueles valores.para > qualquer valor de k natural > Usando a matriz A do item (a), teremos: A^k + A^(-k) = diag( r^k + (1/r)^k , r^k + (1/r)^k ) = (r^k + (1/r)^k)*I. Agora, basta mostrar que r^k + (1/r)^k pertence a {-2,-1,1,2}, para todo k natural. Uma idéia é usar indução. Outra é encontrar uma relação de recorrência cuja solução seja: a(k) = r^k + (1/r)^k para todo k natural. Por exemplo, podemos tomar: a(1) = 1, a(2) = -1 e, para k >= 3, a(k) = a(k-1) - a(k-2). Isso implica que: a(3) = -1 - 1 = -2; a(4) = -2 - (-1) = -1; a(5) = -1 - (-2) = 1; a(6) = 1 - (-1) = 2; a(7) = 2 - 1 = 1 = a(1); a(8) = 1 - 2 = -1 = a(2) A partir daí, fica fácil ver que os valores de a(k) se repetem com período 6, de modo que, para todo k natural, a(k) pertence a {-2,-1,1,2}. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================