on 20.04.04 14:42, rickufrj at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá pessoal > Este problema está na revista Eureka n°18 , é o > Proposto 83: > > 83) Seja N = {0,1,2,3, ..} > Determine quantas funções de N em N satisfazem: > f(2003) = 2003, > f(n) <= 2003 para todo n <= 2003, e > f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N. > m = n = 0 ==> f(f(0)) = f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0) ==> f(0) = 0
n = 0 ==> f(m) = f(m + 0) = f(m + f(0)) = f(f(m)) + f(0) = f(f(m)) ==> f(f(m)) = f(m), para todo m em N. Como f(n) <= 2003, para n <= 2003, podemos escrever, para n <= 2003: f(n) = 2003 - m, onde 0 <= m <= 2003. Logo: 2003 = f(2003) = f(m + (2003 - m)) = f(m + f(n)) = = f(f(m)) + f(n) = f(m) + (2003 - m) ==> f(m) = m, para 0 <= m <= 2003. Sabemos que f(0) = 0. Suponhamos, por hipotese de inducao, que f(m) = m, para algum m em N. Entao: f(m + 1) = f(m + f(1)) = f(f(m)) + f(1) = f(m) + 1 = m + 1. Logo, concluimos que f(m) = m, para todo m em N ==> f eh a funcao identidade em N ==> existe uma unica funcao de N em N que satisfaz as condicoes do enunciado. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================