Segundo o enunciado, a funcao f:I-> R^n eh do tipo f(x) = (f_1(x),....f_n(x)), sendo f_1,...f_n as componentes de f, ou seja, funcoes de I em R^n. f eh uma funcao vetorial de veriavel real. Admitindo-se que as funcoes f_1, ...f_n sejam diferenciaveis em I, temos entao que f'(x) = (f'_1(x),....f'_n(x)). Afirmar que, em um ponto u, f e f' sao perpendiculares, significa dizer que o produto escalar f(u).f'(u) dos vetores f(u) e f'(u) eh nulo. Logo, f_1(u)*f'_1(u) ... + ..f_n(u)*f'_n(u) =0. Analisando-se o primeiro membro desta expressao, vemos que o mesmo eh 1/2 * d/dx(f(x).f(x) |x =u =1/2 * d/dx ||f(x||^2 | x=u, ou seja, eh a metadade da derivada, computada no ponto u, da funcao de I em [0, inf) que, a cada x associa, o quadradao da norma euclidiana de f. Como f eh diferenciavel, logo continua, a funcao ||f||^2 e continua e diferenciavel. O enunciado afirma portanto que a derivada desta funcao se anula em algum u de I. Soh que eu acho que isto naum eh verdade. Uma situacao em que seria certamente verdade eh se ||f(a)|| = ||f(b||, sendo a e b os pontos extremos de I. Neste caso, a conclusao seria uma imediata consequencia do Teorema de Rolle. Mas, de modo geral, a afirmacao eh falsa. Suponhamos, por exemplo, que f(x) = (x,x) e que I = [0,1]. Entao, f'(x) = (1,1) e, para todo x em I, f(x).f'(x) = 2x, que nunca se anula em I. Artur
--------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] derivada Data: 21/04/04 21:16 Alguém pode me explicar o seguinte: Considerando uma aplicação cujo domínio é um intervalo I fechado da reta e o contra-domínio é o R^n, deve existir um número pertencente ao interior de I cuja imagem e sua derivada são perpendiculares. obrigado _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================