on 04.05.04 18:04, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Claudio > > Obrigado pela dedicação a essa questão, mas não entendi direito a solução. > Não sei se é abuso pedir para vc explicar de novo. De qualquer forma vou > ficar aqui tentando entender. > > Obrigado > Abuso nenhum. Eu soh acho meio complicado lidar com tantos sub-indices num texto de e-mail. Mas vamos lah...
Como U eh convexo, o segmento [x,y] estarah inteiramente contido em U. Como U eh aberto, existirao pontos a_0 = x, a_1, a_2, ..., a_(r-1), a_r = y nesse segmento tais que o cubo n-dimensional cujas arestas sao paralelas aos eixos coordenados e cujos vertices antipodas sao a_k e a_(k+1) (0<=k<=r-1) estah inteiramente contido em U. (no cubo [0,1]x[0,1]x...x[0,1], (0,0,...,0) e (1,1,...,1) sao vertices antipodas, por exemplo) No k-esimo cubo, tome um caminho comecando em a_(k-1) e terminando em a_k composto por n arestas adjacentes do cubo, cada uma delas paralela a um dos eixos coordenados. Em cada um desses cubos, a restricao de f a i-esima aresta eh uma funcao de uma unica variavel real (x_i) e a derivada parcial df/dx_i eh simplesmente a derivada (uni-dimensional) dessa funcao-restricao. Essa derivada existe e eh limitada, por hipotese. Sendo assim, podemos aplicar o teorema do valor medio para funcoes reais de 1 variavel real. Pra ilustrar, vou supor que U c R^2 e que precisamos tomar apenas um ponto intermediario z = (z1,z2) no segmento [x,y] = [(x1,x2),(y1,y2)]. Tomemos o caminho: (x1,x2) -> (z1,x2) -> (z1,z2) -> (y1,z2) -> (y1,y2), o qual consiste de 4 arestas, a 1a. e a 3a. paralelas ao eixo das abscissas e a 2a. e a 4a. ao eixo das ordenadas. Pelo tvm , existirao pontos (a,x2), (z1,b), (c.z2) e (y1,d), um em cada aresta, tais que: f(z1,x2) - f(x1,x2) = f_1(a)*(z1 - x1) f(z1,z2) - f(z1,x2) = f_2(b)*(z2 - x2) f(y1,z2) - f(z1,z2) = f_1(c)*(y1 - z1) f(y1,y2) - f(y1,z2) = f_2(d)*(y2 - z2) onde: f_k(x) = derivada parcial de f em relacao a k-esima coordenada. Tomado valores absolutos, e levando em conta que as derivadas parciais sao limitadas (por M > 0), teremos: |f(z1,x2) - f(x1,x2)| <= M*|z1 - x1| |f(z1,z2) - f(z1,x2)| <= M*|z2 - x2| |f(y1,z2) - f(z1,z2)| <= M*|y1 - z1| |f(y1,y2) - f(y1,z2)| <= M*|y2 - z2| Somando esats desigualdades e usando a desigualdade triangular, obtemos: |f(y1,y2) - f(x1,x2)| <= M*(|z1 - x1| + |z2 - x2| + |y1 - z1| + |y2 - z2|) = M*(|z1 - x1 + y1 - z1| + |z2 - x2 + y2 - z2|) = M*(|y1 - x1| + |y2 - x2|) = M * norma da soma(y - x) (podemos escrever |z1 - x1| + |y1 - z1| = |z1 - x1 + y1 - z1| = |y1 - x1| porque temos x1 <= z1 <= x1 ou y1 <= z1 <= x1, ou seja z1 - x1 e y1 - z1 tem o mesmo sinal) Espero que tenha ficado claro o que eu tinha em mente! A questao eh: voce acha que isso tah certo? []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================