Frederico Reis Marques de Brito wrote:
Considere o conjunto S dos pontos do R^2 que distam, na métrica
euclidiana, 1 unidade da origem do R^2. Se a cada ponto de S
associarmos um elemento do conjunto T={A,B} então existirão sempre três
pontos de S equidistantes ( na métrica euclidiana ) associados a um
mesmo elemento de T.
Mas é verdade isso mesmo? Sejam dois pontos A,B;
então o lugar geométrico dos pontos distantes do ponto A
um comprimento d(AB) é um círculo de raio d(AB) centrado
em A, o mesmo vale pra B. Os dois círculos se encontram
em dois pontos, que determinam as duas únicas possíveis
posições para um ponto C tal que os três sejam equidistantes,
e nessas condições ABC formam um triângulo equilátero.
Agora, se pra resolver o problema você precisa
inscrever um triângulo equilátero no seu conjunto S,
então vai dar zica. Quebre o conjunto S em três intervalos
semi-abertos R=[0,120[ , S=[120,240[ , T=[240,360[
(ângulos em graus). Para um triângulo equilátero estar
inscrito no conjunto S, precisa ter um ponto em cada
um desses intervalos. Mas agora eu pinto de azul os
conjuntos R e S, e de vermelho o conjunto T, e garanto
que não há triângulos equiláteros com vértices de mesma cor.
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Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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