> > > Consegui provar que f eh continua, o que completa a > demonstracao de que f eh > unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base > 2). >
Uma outra forma de provarmos segue um caminho um pouco diferente. Vamos generalizar um pouco mais e considerar f satisfazendo a f(x*y) = f(x) + f(y), com f(a) =1 para algum a>1 (se a<1, a analise eh similar) e f crescente. Jah vimos que estas condicoes implicam que f(r) = log(r) para todo racional r, entendendo-se aqui log como na base a. A funcao g(x) = log(x) , x>0, real, eh uniformemente continua em [k, inf) para todo k>0 (pois sua derivada g'(x) = 1/(x*ln(a)) eh limitada em [k, inf) - g eh inclusive Lipschitz neste conjunto). Logo, a restricao de f aos racionais eh uniformemente continua nos racionais em [k, inf) para k>0 . Para todo eps>0 existe, portanto, um d>0 tal que, se r1 e r2 sao racionais tais que que k<=r1<r2 e r2-r1<d, entao f(r2) - f(r1) <eps. Se x1 e x2 sao reais tais que k<=x1<x2 e x2-x1<d/2, existem entao racionais r1 e r2 tais que k<=r1<=x1<x2<r2 e r2-r1<d. Como f, por hipotese, eh monotonicamente crescente, e f(r2) - f(r1) < eps, concluimos que f(x2) - f(x1) < eps, do que deduzimos que f eh uniform. continua em todo o [k, inf) para todo k>0. Dado que todo x>0 esta em [k, inf) para 0<k<x, concluimos que f eh continua em (0, inf). As demias conclusoes seguem-se conforme jah comentado pelo Claudio. A hipotese de f eh monotonicamente crescente eh essencial aqui. Sem fazer esta hipotese, podemos chegar aa conclusao de que f eh a funcao log na base a se mantivermos a equacao funcional f(x*y) = f(x) + f(y) e f(a) =1 e admitirmos que f eh diferenciavel em pelo menos um x0>0. "Prova" sucinta: diferenciabilidade em x0 => diferenciabilidade em 1 => diferenciabilidade => (0, inf) => f'(x) = 1/(x*ln(a)) => f(x) = log(x)_a (base a). Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================