on 28.04.04 18:34, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: >>> >> Consegui provar que f eh continua, o que completa a >> demonstracao de que f eh >> unica (e, portanto, igual a funcao logaritmo de base >> 2). >> > > Uma outra forma de provarmos segue um caminho um pouco > diferente. Vamos generalizar um pouco mais e > considerar f satisfazendo a f(x*y) = f(x) + f(y), com > f(a) =1 para algum a>1 (se a<1, a analise eh similar) > e f crescente. Jah vimos que estas condicoes implicam > que f(r) = log(r) para todo racional r, entendendo-se > aqui log como na base a.
Oi, Artur: Como voce prova que a unica restricao de f aos racionais positivos eh a funcao logaritmo de base a? Eu consigo ver que, para r racional, f(a^r) = r e que log satisfaz essa equacao, mas por que log eh a unica funcao que o faz? []s, Claudio. > A funcao g(x) = log(x) , x>0, real, eh uniformemente > continua em [k, inf) para todo k>0 (pois sua derivada > g'(x) = 1/(x*ln(a)) eh limitada em [k, inf) - g eh > inclusive Lipschitz neste conjunto). Logo, a restricao > de f aos racionais eh uniformemente continua nos > racionais em [k, inf) para k>0 . Para todo eps>0 > existe, portanto, um d>0 tal que, se r1 e r2 sao > racionais tais que que k<=r1<r2 e r2-r1<d, entao f(r2) > - f(r1) <eps. Se x1 e x2 sao reais tais que k<=x1<x2 e > x2-x1<d/2, existem entao racionais r1 e r2 tais que > k<=r1<=x1<x2<r2 e r2-r1<d. Como f, por hipotese, eh > monotonicamente crescente, e f(r2) - f(r1) < eps, > concluimos que f(x2) - f(x1) < eps, do que deduzimos > que f eh uniform. continua em todo o [k, inf) para > todo k>0. Dado que todo x>0 esta em [k, inf) para > 0<k<x, concluimos que f eh continua em (0, inf). As > demias conclusoes seguem-se conforme jah comentado > pelo Claudio. > > A hipotese de f eh monotonicamente crescente eh > essencial aqui. Sem fazer esta hipotese, podemos > chegar aa conclusao de que f eh a funcao log na base a > se mantivermos a equacao funcional f(x*y) = f(x) + > f(y) e f(a) =1 e admitirmos que f eh diferenciavel em > pelo menos um x0>0. > "Prova" sucinta: diferenciabilidade em x0 => > diferenciabilidade em 1 => diferenciabilidade => (0, > inf) => f'(x) = 1/(x*ln(a)) => f(x) = log(x)_a (base > a). > Artur > > > > > __________________________________ > Do you Yahoo!? > Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs > http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover > ========================================================================= > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================