on 28.04.04 22:27, Carlos bruno Macedo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > 1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço > nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem > determinante 1. >
exp(X) = I + X + X^2/2 + ... + X^n/n! + ... Logo, (exp(X))' = I + X' + (X^2)'/2 + ... + (X^n)'/n! + ... ==> (exp(X))' = I + X' + (X')^2/2 + .. + (X')^n/n! + ... = exp(X') (X' = transposta de X) Alem disso, tambem vale exp(X)*exp(Y) = exp(X+Y). A eh antisimetrica ==> A' = -A ==> A + A' = 0 Logo: exp(tA)*(exp(tA))' = exp(tA)*exp(tA') = exp(t(A+A')) = exp(0) = I ==> exp(tA) eh ortogonal. *** Fixado um real t, sejam k1, k2, ..., kn os autovalores de tB (possivelmente complexos e possivelmente repetidos). traco(B) = 0 ==> traco(tB) = 0 ==> k1 + k2 + ... + kn = 0 ==> exp(k1 + k2 + ... + kn) = 1 ==> exp(k1)*exp(k2)*...*exp(kn) = 1 ==> det(exp(tB)) = 1 []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================