Paulo Santa Rita said: > [...] > 103 – Seja dado um triangulo ABC com um ponto D em AB e um ponto E em > AC. Sabe-se que AD = DE = AC , BD = AE e que DE e paralelo a BC. Prove > que o comprimento de BD e igual ao lado de um decagono inscrito em um > circulo com raio R = AC. > [...]
S.p.d.g., AD = DE = AC = 1 e BD = AE = x. Então EC = 1-x. Pelo Teorema de Tales, AE/EC = AD/DB, pois DE//BC. Logo x/(1-x) = 1/x. Considere agora o triângulo XYZ, com XYZ = XZY = 2*pi/5, YZ = y e XY = XZ = 1. Esse triângulo é um dos gomos do decágono regular inscrito na circunferência de raio 1 = AC. Escolha agora W sobre XZ tal que YW bissecta XYZ. Então os triângulos YZW e XYZ são semelhantes => y/(1-y) = 1/y, pois YZ = YW = XW. Como a equação z/(1-z) = 1/z tem duas raízes, uma positiva e outra negativa, mas x e y são positivos e são raízes dessa equação ==> x = y. []s, -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================