> 102 - Prove que e possivel representar um numero natural M qualquer, M
menor
> que N! + 1, como uma soma de K numeros ( K =< N ), cada um deles divisor
de
> N! e dois a dois diferentes entre si.
realmente, é bem difícil pra 8ª série...
a minha idéia não é tão elementar, gostaria de ver a sol. da banca.
primeiramente verifique que para N=1 o enunciado é válido.
suponha que tenhamos M <= (N+1)! e queiramos obter uma soma de valor M com
divisores distintos de (N+1)!
Se M = (N+1)! nada temos a demonstrar.
Defina M_1 = M e
M_i = k_i * (N+1)!/(i+1) + M_{i+1} com 0 <= M_i < (N+1)!/i, i = 1...N
Então M = M_1 = k_1*(N+1)!/2 + M_2
note que k_1 < 2 e M_2 < (N+1)!/2.
M_2 = k_2*(N+1)!/3 + M_3
temos k_2 < 2, pois 2/3 (N+1)! > 1/2 (N+1)! > M_2
de um modo geral, k_i < 2 pois
M_i = k_i * (N+1)!/(i+1) + M_{i+1}
e 2/(i+1) (N+1)! > 1/i (N+1)! > M_i pois 2/(i+1) > 1/i (visto que 2i > 2i
+ 1)
dessa forma, M_{N+1} < N! e aí, por hipótese de indução, podemos obter uma
soma S, de valor M_{N+1}, apenas com divisores de N!
para cada i com k_i = 1, adicione o termo (N+1)!/i (que divide (N+1)!) à
soma S, isso dá uma soma de valor M, com fatores distintos que são todos
divisores de (N+1)!
[ ]'s
PS: note que isso fornece um algoritmo para obtermos tal soma.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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