Ola turma! Eu tenho ca uma pergunta: existe uma formula fechada para as somas das k-esimas potencias, sem, digamos, saber o k particular? Melhor falando: dada a funçao f(k,n)= soma das k-esimas potencias dos n primeiros inteiros positivos, exprima f como uma formula fechada.
--- Rogério_Moraes_de_Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá Crom, > > Muitos livros de Matemática apresentam uma > possível dedução da > fórmula da soma das potências k-ésimas (k > inteiro positivo) dos n primeiros > inteiros positivos pelo método que você > apresentou parcialmente, ou seja, > usando o desenvolvimento do binômio de Newton > (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o > somatório com x variando de 1 até n a ambos os > membros da igualdade, os > termos de grau (k + 1) podem ser cancelados, > com exceção de (n + 1)^(k + 1) > no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1 > no segundo membro da > igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da > soma das potências k-ésimas, > nós precisamos conhecer todas as fórmulas das > somas das potências com > expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós > encontramos uma fórmula de > recorrência para deduzir a soma das potências > k-ésimas dos n primeiros > inteiros positivos, porém o processo vai > ficando muito longo à medida que os > expoentes vão crescendo. > > A seguir, eu apresento um método que pode ser > utilizado para > encontrar a soma das potências k-ésimas dos n > primeiros inteiros positivos > de forma direta. Neste método, não há a > necessidade de se conhecer as > fórmulas das somas das potências com expoente > de 1 até (k - 1) > > > DEDUÇÃO POSSÍVEL: > > Seja S[n] o polinômio que representa a soma > dos quadrados dos n > primeiros inteiros positivos, então podemos > concluir que: > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 > (i) > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, > uma vez que na diferença S[n] > - S[n - 1] os termos de maior grau dos > polinômios vão ser cancelados. Sendo > assim, podemos escrever: > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d > O termo independente é 0, uma vez que S[0] não > possui termos. Portanto, d = > 0. > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) > > Substituindo a (ii) na (i): > a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 > - c.(n - 1) = n^2 > 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 > 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 > > Pela identidade de polinômios, devemos ter: > 3a = 1 <=> a = 1/3 > 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 > a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6 > > Substituindo a, b e c no polinômio (ii): > S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 > > Fatorando: > S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 > S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 > > S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 > > Para o caso particular do problema apresentado, > teremos: > S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > ________________________________________ > From: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of [EMAIL PROTECTED] > Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: [obm-l] Soma... > > Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2? > Usei para resolver esse problema a identidade > (x+1)^3. Com efeito, > 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 > 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 > ------------------------------------------------------ > 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando > convenientemente > 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha > pergunta é: Existe um modo mais > fácil de se achar soma de quadrados perfeitos?? > Quem souber e puder responder, deixo > meu agradecimento. > Crom > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ===== TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) ______________________________________________________________________ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================