Olá David, Se você considerar S[n] como um polinômio de grau k em n (k inteiro positivo), então:
S[n]=a[k].n^k+a[k-1].n^(k-1)+...+a[1].n+a[0], tais que a[0], a[1], ..., a[k] são os coeficientes de S[n] e a[k]!=0. S[n-1]=a[k].(n-1)^k+a[k-1].(n-1)^(k-1)+...+a[1].(n-1)+a[0] Considerando a notação C(u, v)=u!/[v!(u-v)!], com u e v inteiros não negativos e u >= v, e aplicando o desenvolvimento do binômio de Newton nas expressões (n-1)^p, com p pertencente a {1, 2, ..., k}, teremos: S[n]-S[n-1] = {a[k]-C(k,0).a[k]}.n^k + {a[k-1]+C(k,1).a[k]-C(k-1,0).a[k-1]}.n^(k-1) + ... S[n]-S[n-1] = {a[k]-a[k]}.n^k + {a[k-1]+k.a[k]-a[k-1]}.n^(k-1) + ... S[n]-S[n-1] = k.a[k].n^(k-1) + ... Como, por hipótese, k é inteiro positivo e a[k]!=0, então k.a[k]!=0. Sendo assim: grau{S[n]-S[n-1]} = k-1 (i) Como: S[n]-S[n-1]=n^2 => grau{S[n]-S[n-1]} = 2 (ii) Por (i) e (ii): k-1 = 2 <=> k = 3 Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of David M. Cardoso Sent: quarta-feira, 26 de maio de 2004 20:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Soma... Extraindo dessa mensagem essa parte: > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos > quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos > concluir que: > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na > diferença S[n] > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser > cancelados. Não entendi pq o dá pra inferir que o grau do polinomio é 3... Será alguem pode explicar isso? > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogério Moraes > de Carvalho > Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 10:25 > Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: RE: [obm-l] Soma... > > Olá Crom, > > Muitos livros de Matemática apresentam uma possível > dedução da fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro > positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que > você apresentou parcialmente, ou seja, usando o > desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao > aplicar o somatório com x variando de 1 até n a ambos os > membros da igualdade, os termos de grau (k + 1) podem ser > cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro membro > da igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade. > Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências > k-ésimas, nós precisamos conhecer todas as fórmulas das somas > das potências com expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós > encontramos uma fórmula de recorrência para deduzir a soma > das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros positivos, > porém o processo vai ficando muito longo à medida que os > expoentes vão crescendo. > > A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado > para encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros > inteiros positivos de forma direta. Neste método, não há a > necessidade de se conhecer as fórmulas das somas das > potências com expoente de 1 até (k - 1) > > > DEDUÇÃO POSSÍVEL: > > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos > quadrados dos n primeiros inteiros positivos, então podemos > concluir que: > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i) > > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que na > diferença S[n] > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser > cancelados. Sendo assim, podemos escrever: > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d > O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos. > Portanto, d = 0. > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii) > > Substituindo a (ii) na (i): > a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2 > 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2 > 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2 > > Pela identidade de polinômios, devemos ter: > 3a = 1 <=> a = 1/3 > 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 > a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6 > > Substituindo a, b e c no polinômio (ii): > S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6 > > Fatorando: > S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6 > S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6 > > S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 > > Para o caso particular do problema apresentado, teremos: > S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385 > > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > ________________________________________ > From: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] > Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: [obm-l] Soma... > > Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2? > Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito, > 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1 > 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1 > ------------------------------------------------------ > 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando > convenientemente 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha > pergunta é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de > quadrados perfeitos?? > Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento. > Crom > > > > ============================================================== > =========== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ============================================================== > =========== > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================