Olá Osvaldo, Observe que você está tirando conclusões baseadas somente no desenho. O enunciado não fornece nenhuma informação que permita que você conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC são paralelos. Ao afirmar que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está afirmando de maneira indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir do quadrado ABCD por uma rotação de 45° em torno do seu centro.
Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Osvaldo Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55 To: obm-l Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana Okay, concordo! Porém, não mencionei na minha solução por ME PARECER meio direto, desculpe. Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB, concluímos que eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC é comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja 45° , dai completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, BIX vale 45 tambem. Falow, até. > Olá Osvaldo, > > Não há dados suficientes no enunciado do problema que permitam que > você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC e IBJ são semelhantes. É > fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo ABC são os seguintes: > <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se trata de um triângulo > retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°). Porém, apesar de podermos > concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo <IBJ = 90°, não se pode > concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°. Sendo assim, não é > correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC e IBJ pelo critério AA~, > a não ser que se prove antes que um dos ângulos agudos do triângulo IBJ é > igual a 45°. Uma possível demonstração está colocada na solução que eu > propus. > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of Osvaldo > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58 > To: obm-l > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > E ai Thór! > > > Creio que uma outra res. possível seja algo como esta: > > Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente > congruentes. > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm > perímetro P, assim P=l/4 > > Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do primeiro > quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro quadrado > de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I e J > as intersecções de EF com os lados AB e BC, > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a > intersecção de OB com o lado EF. > > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são > semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono > regular. > > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao lado > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, l.sqrt > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2 > Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o lado > do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt > (2)-1)= > (P/4).(sqrt(2)-1) > > Falow ai > > > > > > Olá Thor, > > > > Segue uma resolução possível para esta questão. > > > > > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL: > > > > Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos > perímetros (P), então eles > > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = > P/4). Como o esboço da > > figura é muito importante para facilitar a > compreensão da resolução, segue a > > descrição do mesmo. > > > > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = > P/4) e centro O. Agora > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rotação > de um ângulo BETA de > > ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, tal > que 0 < BETA < 90°. > > Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados > como H[1], H[2], H[3], > > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de > interseção mais próximo de > > A no segmento AB. > > > > Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') de > rotação do quadrado > > ABCD deve ser igual a 45°. > > Para isto, considere P o ponto de interseção do > segmento AO com o lado D'A' > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do > segmento A'O com o lado AB > > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo <PH > [1]Q corresponde a um > > dos ângulos internos de um octógono regular (dado do > enunciado), então: > > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135° > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° => > <PH[1]A = 45° > > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma > diagonal e um lado do quadrado > > ABCD) > > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + > <PH[1]A => <OPH[1] = 90° > > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90° > > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q é > igual a 360°, > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360° > => 90° + 135° + 90° + > > BETA = 360° => BETA = 45° > > > > Observe que: AO = AP + PO (i) > > > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO > = L.sqr(2)/2 (ii) > > > > AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois na > dedução do ângulo de > > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH [1] > é retângulo isósceles. > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é retângulo > isósceles. Como o lado > > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e > APH[8] são congruentes > > pelo critério ALA. Considerando X como a medida do > lado do octógono regular > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH [1] > = PH[8] = X/2 (iii) > > > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO > = L/2 (iv) > > > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na > igualdade (i), teremos: > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > Atenciosamente, > > > > Rogério Moraes de Carvalho > > ______________________________________ > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- > [EMAIL PROTECTED] On > > Behalf Of Thor > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25 > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Subject: [obm-l] Geom. Plana > > > > > > > > Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada , > são interceptados de > > modo que os pontos de interseção > > de seus lados sejam os vértices de um octógono > regular.Qual é o lado desse > > octógono em funçao de P? > > > > > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai > parei!!!! > > > > Agradeço desde de já. > > > > > > > > > ======================================================== > ================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================== > ================= > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > > > ________________________________________________________ __________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ======================================================== ================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================== ================= > > > > ======================================================== ================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================== ================= > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. 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