Okay Rogério vou analisá la,... valew!
> Osvaldo, > > Para chegar a esta conclusão, você vai ter que levar em conta o > seguinte dado do enunciado do problema: "... os pontos de interseção > de seus lados sejam os vértices de um octógono regular.". Sendo assim, você > pode levar em consideração que todos os ângulos internos do octógono regular > são iguais a 135°. Usando esta informação, você pode comprovar as suas > conclusões de várias maneiras. Observe que você não tinha usado esta > informação, portanto você estava resolvendo um problema mais genérico como > se fosse um caso particular. > > Obs.: Se estiver com tempo, dê uma analisada na resolução que eu propus. A > resolução parece extensa, mas isto ocorreu devido a eu ter explicado > detalhadamente todos os passos e cálculos. Ao analisar os passos da > resolução, você poderá concluir que a resolução é bem simples. > > Abraços, > > Rogério Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of Osvaldo > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 21:50 > To: obm-l > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > E ai Rogério! > > Poxa, acho que vc esta certo. Será que tem alguma > maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me > mandar. valew! > > > > > > > Olá Osvaldo, > > > > Observe que você está tirando conclusões > baseadas somente no > > desenho. O enunciado não fornece nenhuma informação > que permita que você > > conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC > são paralelos. Ao afirmar > > que os segmentos XJ e OC são paralelos, você está > afirmando de maneira > > indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir > do quadrado ABCD por > > uma rotação de 45° em torno do seu centro. > > > > Abraços, > > > > Rogério Moraes de Carvalho > > -----Original Message----- > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- > [EMAIL PROTECTED] On > > Behalf Of Osvaldo > > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 16:55 > > To: obm-l > > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > > > Okay, concordo! > > Porém, não mencionei na minha solução por ME PARECER > > meio direto, desculpe. > > Tipo, olhando para os ângulos XJB e OCB, concluímos > que > > eles têm mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC > é > > comum e os segmentos XJ e OC são //), ou seja 45° , > dai > > completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, > > BIX vale 45 tambem. > > > > Falow, até. > > > > > Olá Osvaldo, > > > > > > Não há dados suficientes no enunciado do > > problema que permitam que > > > você conclua de forma DIRETA que os triângulos ABC > e > > IBJ são semelhantes. É > > > fácil e direto concluir que os ângulos do triângulo > > ABC são os seguintes: > > > <ABC = 90°, <BCA = 45° e <CAB = 45°, uma vez que se > > trata de um triângulo > > > retângulo isósceles (AB = BC = L e <ABC = 90°). > > Porém, apesar de podermos > > > concluir diretamente que no triângulo IBJ o ângulo > > <IBJ = 90°, não se pode > > > concluir diretamente que <BJI = 45° ou <JIB = 45°. > > Sendo assim, não é > > > correto fazer a semelhança entre os triângulos ABC > e > > IBJ pelo critério AA~, > > > a não ser que se prove antes que um dos ângulos > > agudos do triângulo IBJ é > > > igual a 45°. Uma possível demonstração está > colocada > > na solução que eu > > > propus. > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > Rogério Moraes de Carvalho > > > -----Original Message----- > > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner- obm- > > [EMAIL PROTECTED] On > > > Behalf Of Osvaldo > > > Sent: sábado, 29 de maio de 2004 13:58 > > > To: obm-l > > > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > > > > > E ai Thór! > > > > > > > > > Creio que uma outra res. possível seja algo como > esta: > > > > > > Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente > > > congruentes. > > > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm > > > perímetro P, assim P=l/4 > > > > > > Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do > primeiro > > > quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro > > quadrado > > > de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I > e > > J > > > as intersecções de EF com os lados AB e BC, > > > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a > > > intersecção de OB com o lado EF. > > > > > > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são > > > semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB > > > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono > > > regular. > > > > > > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao > > lado > > > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, > > l.sqrt > > > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2 > > > Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o > > lado > > > do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l. > (sqrt > > > (2)-1)= > > > (P/4).(sqrt(2)-1) > > > > > > Falow ai > > > > > > > > > > > > > > > > Olá Thor, > > > > > > > > Segue uma resolução possível para esta questão. > > > > > > > > > > > > RESOLUÇÃO POSSÍVEL: > > > > > > > > Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos > > > perímetros (P), então eles > > > > são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = > > > P/4). Como o esboço da > > > > figura é muito importante para facilitar a > > > compreensão da resolução, segue a > > > > descrição do mesmo. > > > > > > > > Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = > > > P/4) e centro O. Agora > > > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da > > rotação > > > de um ângulo BETA de > > > > ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, > > tal > > > que 0 < BETA < 90°. > > > > Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados > > > como H[1], H[2], H[3], > > > > ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de > > > interseção mais próximo de > > > > A no segmento AB. > > > > > > > > Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') > > de > > > rotação do quadrado > > > > ABCD deve ser igual a 45°. > > > > Para isto, considere P o ponto de interseção do > > > segmento AO com o lado D'A' > > > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do > > > segmento A'O com o lado AB > > > > do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o > ângulo > > <PH > > > [1]Q corresponde a um > > > > dos ângulos internos de um octógono regular (dado > > do > > > enunciado), então: > > > > <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135° > > > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° > > => > > > <PH[1]A = 45° > > > > <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma > > > diagonal e um lado do quadrado > > > > ABCD) > > > > Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH [1] > + > > > <PH[1]A => <OPH[1] = 90° > > > > Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90° > > > > A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH [1] > Q > > é > > > igual a 360°, > > > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = > 360° > > > => 90° + 135° + 90° + > > > > BETA = 360° => BETA = 45° > > > > > > > > Observe que: AO = AP + PO (i) > > > > > > > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto > > AO > > > = L.sqr(2)/2 (ii) > > > > > > > > AP: metade do lado do octógono regular (X/2), > pois > > na > > > dedução do ângulo de > > > > rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH > > [1] > > > é retângulo isósceles. > > > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] é > > retângulo > > > isósceles. Como o lado > > > > AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH [1] > e > > > APH[8] são congruentes > > > > pelo critério ALA. Considerando X como a medida > do > > > lado do octógono regular > > > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH > > [1] > > > = PH[8] = X/2 (iii) > > > > > > > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto > > PO > > > = L/2 (iv) > > > > > > > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na > > > igualdade (i), teremos: > > > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L > > > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > > > > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > > > Rogério Moraes de Carvalho > > > > ______________________________________ > > > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner- > obm- > > > [EMAIL PROTECTED] On > > > > Behalf Of Thor > > > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25 > > > > To: [EMAIL PROTECTED] > > > > Subject: [obm-l] Geom. Plana > > > > > > > > > > > > > > > > Dois quadrados concêntricos de perímetro P , > cada , > > > são interceptados de > > > > modo que os pontos de interseção > > > > de seus lados sejam os vértices de um octógono > > > regular.Qual é o lado desse > > > > octógono em funçao de P? > > > > > > > > > > > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e > > dai > > > parei!!!! > > > > > > > > Agradeço desde de já. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > > ================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar > > > a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- > l.html > > > > > > > > > > ======================================================= = > > > ================= > > > > > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > > > Osvaldo Mello Sponquiado > > > Usuário de GNU/Linux > > > > > > > > > > > > > > > _______________________________________________________ _ > > __________________ > > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > > AntiPop-up UOL - É grátis! > > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar > > a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar > > a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > > > > > Atenciosamente, > > > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > > Osvaldo Mello Sponquiado > > Usuário de GNU/Linux > > > > > > > > > _______________________________________________________ _ > __________________ > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > AntiPop-up UOL - É grátis! > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > > > > > > ======================================================= = > ================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================= = > ================= > > > > > > > > > ======================================================= = > ================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================= = > ================= > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > > > _______________________________________________________ ___________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > > > > ======================================================= ================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. 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