Cláudio, Eu escrevi minha idéia para mostrar a contradição.
> on 30.05.04 21:40, Fernando Villar at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Olá Márcio, > > > > Acho que esta é uma solução possível: > > > > Considere os conjuntos > > A_i={coordenadas de x_i} > > M_i=Max A_i > > m_i=min A_i > > E os intervalos fechados > > J_i=[m_i,M_i] > > > > É claro que A_i está contido em J_i para todo i. > > E temos a seqüência de intervalos fechados "encaixantes": > > J_0 contém J_1 contém ... > > Cuja interseção sabemos que é não vazia. > > Suponha que a interseção de todos os {J_i}s seja um intervalo > > [a,b]. Pela construção chegamos a um absurdo se considerarmos a<b. > > Oi, Fernando: > Tah tudo perfeito ateh aqui, mas nao ficou claro porque supor que a < b > resulta em contradicao (veja bem, acho ateh que isso eh verdade, mas tambem > acho que precisa duma explicacao mais detalhada). > > []s, > Claudio. Olá Cláudio, Eu havia pensado no seguinte argumento: Suponha que a<b Como [a,b] está contido em J_i para todo i temos que m_i =< a < b=<M_i para todo i. teremos m_0=<m_1=<...=<m_i=<... a < b=<...=<M_i =<...=<M_1=<M_0 e a = sup {m_i} e b = inf {M_i} Seja E=(b-a)>0. existem índices k,j tais que: a-E/4=<m_k=< a b =< m_j =<b+E/4 Sem perda de generalidade podemos supor j<k: Existe uma quantidade finita,digamos no máximo p, de coordenadas de x_k que pertencem aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k]. Por construção duas das coordenadas do vetor x_(k+1) são dadas por w =m_k +[(M_k-m_k)/2] = M_k - [(M_k-m_k)/2] note que E=< (M_k-m_k)=< 3E/2 donde a-E/4=<m_k+E/2=< w =< m_k+3E/4 e M_k-3E/4=< w =< M_k -E/2=<b+E/4 Por outro lado a-E/4=<m_k implica que a+E/4=< m_k+E/2 donde a<w e M_k =<b+E/4 implica que M_k -E/2=<b-E/4 donde w<b Assim a<w<b (**) e consequentemente x_(k+1) tem no máximo p-2, de que pertencem aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k]. Utilizando argumentos análogos aos utilizados para provar (**) teremos após p etapas (possivelmente antes) que as coordenadas do vetor x_(k+p+1) são maiores do que a e menores do que b. Assim J_(k+p+1) está contido em (a,b). Portanto o intervalo J_(k+p+1) não pode conter [a,b]. Contradição. Ufa! Acho que é isso! []s, Fernando > > Daí a=b. > > como > > A_i está contido em J_i para todo i. > > segue que A_i converge para {a} > > e portanto > > x_n converge para w=(a,a,...,a) > > > > > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================