Valeu Felipe!
Bem, 10^n significa que temos números com n dígitos.
Para gerarmos todos os números cujos dígitos somam 9(n-1), é como se iniciássemos com todos os dígitos iguais a 9, e então somássemos um total de -9 unidades a eles, distribuídas de todas as formas possíveis. Portanto, queremos o número de solucões não negativas de A1+..+An = 9 , que vale (n+8)! / [ (n-1)! * 9! ]
Para os números cujos dígitos somam 9(n-2), o raciocínio é equivalente: queremos distribuir ¨negativamente¨ um total de 18 unidades, com o cuidado de eliminar todas as solucões com uma das variáveis maior que 9 (pois não poderíamos ter um dígito menor que zero, no número formado). Temos que o total de solucões não negativas de A1+...+An=18 vale (n+17)! / [ (n-1)! * 18! ] .
E , para o total de solucões com uma das variáveis maior que 9, basta imaginar que uma das variáveis já tem o offset de 10, de forma que queremos as solucoes nao negativas de A1+...+An = 8 , que vale (n+7)! / [ (n-1)! * 8! ] . Esse número deve ser multiplicado por n , pois temos n escolhas para a variável com o offset de 10.
Dessa forma, o total para este caso é (n+17)! / [ (n-1)! * 18! ] - n*(n+7)! / [ (n-1)! * 8! ]
Assim, provar que , para n>3, o primeiro caso é menor que o segundo caso, é o mesmo que provar que
(n+8)! /9! + 9n* (n+7)! / 9! < (n+17)! / 18!
ou 10n+8 < (n+17)*(n+16)*...*(n+8) * 9!/18!
Isso é o mesmo que provar que (chamando Ln de L): L(10n+8) < L(n+17) + L(n+16) +...+ L(n+8) + L(9!/18!)
Observemos que a derivada dos dois lados é
10/(10n+8) < 1/(n+17) + 1/(n+16) +...+ 1/(n+8) + 0
pois cada um dos termos à direita é maior que 1/(10n+8) , fazendo com que o lado direito seja sempre maior que o esquerdo.
Assim, como para n=3 os dois lados valem L(38), e para qualquer n>=3, a derivada da direita é sempre maior que a derivada do lado esquerdo, a desigualdade é verdadeira.
Abraços, Rogério.
--------------------------------------- Oi Rogerio,
que tal o enunciado abaixo?
Seja n um número natural, n > 3.
Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a
soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
Até mais. Felipe M.
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