Há uma passagem que precisa ser mais detalhada. Seja p um ponto de D e U uma vizinhança de p em D tal que g se anula em U. Considere z um outro ponto de D, diferente de p. Queremos mostrar que sendo g analítica em D, então g(z)=0. Sabemos que a série de Taylor em torno de p converge numa bolinha centrada em p, que não obrigatoriamente contem z. Logo, não podemos daí concluir que g(z)=0. Considere uma curva contida em D e que liga os pontos p e z. (lembre-se que aberto e conexo em R^2 implica conexo por caminhos). O raio de convergência da série de Taylor de g em torno de cada ponto da curva é maior que k, para algum k>0 pois a curva é compacta e o raio de convergência é uma função contínua em D. Considere uma cobertura finita da curva por bolinhas abertas de raio k/3 centradas em pontos da curva. Como g=0 na bolinha centrada em p, concluímos que g=0 em todas estas bolinhas e, em particular, g(z)=0. Logo g=0 em D.
Há um teorema que eu acho mais interessante para aplicar no seu problema: Seja U um aberto e conexo e g:U->C uma função analítica. Se a função |g|:U->[0,+infinito) possui um máximo local, então g é constante. Isso implica que se há um aberto contido em U onde a função é constante, então a função é constante em todo o seu domínio. Se o domínio de g não é conexo, então com certeza é impossível ter o mesmo resultado. Basta pegar duas bolas abertas disjuntas em C e definir f igual a zero na primeira e 1 na segunda. Defina g sendo 1 na primeira bola e 0 na segunda. Então f.g=0 e nenhuma delas é identicamente nula. Abraço. Pedro. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Artur Costa Steiner Enviada em: Thursday, September 09, 2004 12:44 PM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas Obrigado. Quero ver se peguei a ideia, me corrija, por favor, se eu estiver errado. A funcao g se anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que acabou sendo uma consequencia do fato de que analiticidade implica continuidade). Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente nulas em U. Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar g(z) em série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se anulam em p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D. A exigencia de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para todo z de D possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p de D. Certo? Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas Data: 09/09/04 11:55 Vale para todo aberto e conexo. Abraço. Pedro. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Artur Costa Steiner Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio. Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo? Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas Data: 08/09/04 21:34 Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e, portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual. Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos. Abraço. Pedro. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Artur Costa Steiner Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Funcoes complexas Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma sugestao. Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z| <1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de fato essencial para a conclusao. Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m cheguei aa conclusao citada. Abracos Artur ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================