Há uma solução espetacular para esse problema no livro "Proofs from the Book". Seja E(x) o numero esperado de cruzamentos ao lancarmos uma curva de comprimento x na sua regiao. (note que no caso de essa curva ser uma agulha de comprimento 2r < a, E(2r) eh exatamente a probabilidade procurada). (*) Eh facil ver que E(x) eh uma funcao crescente e linear (E(x+y) = E(x) + E(y)), e portanto E(x) = cx para algum real x. (**) Considerando o valor esperado para uma circunferencia de raio a/2, obtemos E(2pi*a/2) = 2 => c*pi*a = 2, donde E(x) = 2x/(pi*a), e em particular, a probabilidade procurada eh E(2r) = 4r/(a*pi).
Note que eu escrevi a solucao de forma bem resumida. Pense um pouco que voce vai entender pq (*) esta correto. Ja (**) eh um resultado classico, mas se voce nao o conhece prove-o fazendo inducao em E(nx) e em seguida calculando E(px/q) para p,q inteiros. []s Marcio ----- Original Message ----- From: "Edward Elric" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, October 12, 2004 7:34 PM Subject: [obm-l] [obm-1] Probabilidade > Eis um problema de probabilidade que me parece de um nivel consideravel: > > Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por > retas paralelas. Lance sobre a regiao, ao acaso, uma agulha de comprimento > 2r, com 2r<a. Qual a probabilidade de que a agulha corte umas das paralelas? > > Eu nao consegui, seria bom uma ajuda :) > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================