on 13.10.04 20:19, Demetrio Freitas at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola, > > Gostaria de provar uma congruencia. > > Dado F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n -50 > Prove que F(n) = 0 (mod 120), se n for primo > 7. > (Onde = denota conguente) > > Por exemplo: > F(11) = -69240 = -120 * 577 > F(19) = 170760 = 120 * 1423 > F(97) = 6853927800 = 120 * 57116065 > F(563) = 54562015773960 = 120 * 454683464783 > > Porem: > F(15) = -101240 -> nao divisivel por 120 > F(129) = 30271636600 -> nao divisivel por 120 > F(597) = 73303331579800 -> nao divisivel por 120 > > > Qual caminho usar? > > Obrigado, > > Demetrio > > OBS: > Naturalmente a condição eh "se n primo" e não "sse (se > e somente se)", pois ha muitos n compostos onde F(n) > = 0 (mod 120) > > A primeira coisa eh decompor 120 em fatores primos: 120 = 2^3*3*5.
Agora, basta provar que F(n) == 0 mod 3, 5 e 8 para n primo > 7. Para cada um dos 3 modulos, a ideia eh reduzir F(n) usando propriedades das congruencias e o pequeno teorema de Fermat. Mod 3: F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> F(n) == n + n^2 + n + n^2 + n + 1 ==> F(n) == 2*n^2 + 1 Se n for multiplo de 3, entao F(n) == 1 (mod 3). No entanto, todos os primos > 7 sao impares e nao multiplos de 3, de forma que os seus quadrados sao todos == 1 (mod 3). Logo, para n primo > 7, 2*n^2 + 1 == 2*1 + 1 == 0 (mod 3) *** Mod 5: F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> F(n) = n - 0 + 0 + 0 - n + 0 ==> F(n) == 0 Ou seja, F(n) eh multiplo de 5 para qualquer inteiro n. *** Mod 8: F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n - 50 ==> F(n) == n^5 + 4*n^4 + 0 - 2*n^2 - n - 2 ==> F(n) == n*n^4 + 4*n^4 - 2*n^2 - n - 2 O quadrado de cada impar eh == 1 (mod 8). Assim, para n impar, teremos: F(n) == n*1 + 4*1 - 2*1 - n - 2 == 0 (mod 8). Ou seja, para n impar e nao multiplo de 3, F(n) == 0 (mod 3*5*8). Em particular, para cada primo n > 7, F(n) eh divisivel por n. Repare que, no seu exemplo acima, 15, 129 e 597 sao todos multiplos de 3. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================