On Thu, Sep 30, 2004 at 01:19:55AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ok ! > > Falando novamente sobre o assunto, vejam as equações: > > (I): x1 + x2 + x3 + x4 = 27 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os > valores são naturais) > (II): x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os > valores são naturais) > > Há como provar que a equação (II) possui mais soluções que (I) sem > resolvê-las pelo método exposto por você ? > > Da para generalizar este problema, ou seja, comparar 2 equações destes tipos > (com cotas superior) e dizer qual a que possui mais soluções ?
Sim. Seja f_{n,a}(k) o número de soluções de x1 + ... + xn = k, 0 <= xi <= a. Então f é não-decrescente de 0 até na/2 e não-crescente de na/2 até na; se n > 1 podemos trocar "não-decrescente" e "não-crescente" por "estritamente crescente" e "estritamente decrescente", respectivamente. Um polinômio p de grau n é dito simétrico se o coeficiente de x^i for igual ao de x^(n-i) para todo i. Um polinômio real de grau n é dito unimodal simétrico se, além de ser simétrico, os seus coeficientes forem positivos e não-decrescentes de x^0 até x^[n/2] e não-crescentes de x^[(n+1)/2] até x^n. O que precisamos provar é que o produto de polinômios unimodais simétricos é unimodal simétrico; fica para vocês pensarem. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================