On Sat, Oct 02, 2004 at 02:18:43AM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: > Falando em absurdos matemáticos, eu conheço um site > muito bom que tem alguns destes absurdos. Vou colocar > uma aqui : > > Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de > números estritamente positivos com razão 2 e a_1=1. > > S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) => a partir do a2, > todos os termos são múltiplos de 2. > > Se colocarmos o 2 em evidência, teremos: > > S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ) => como > S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ), temos: > > S = 1 + 2.S > S - 2.S = 1 > > S = - 1 > > Pergunta: por que o argumento é inválido ?
Se é que *é* inválida. É claro que a série 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... diverge no sentido usual. Em algumas áreas existe muito interesse, entretanto, em definições mais amplas de soma de uma série. Uma tal definição é via prolongamento analítico, que dá exatamente a resposta que você obteve e o seu argumento é quase uma demonstração. Transforme a sua série em uma série de potências: f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... = 1/(1-2x) para |x| < 1/2. Infelizmente, a série não converge em x = 1; podemos fazer o prolongamento analítico e teremos um único polo em x = 1/2. O valor de f(1) é de fato -1. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================