Outra soluçao: x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Note que (*) pode ser reescrita como: x = sqrt (u +2) e portanto: x = sqrt (x + 2) Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. Portanto a soluçao eh dois. []s
---------- Início da mensagem original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(.... > Seja (x(n)) a sequência definida por: > x(1) = raiz(2) > x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. > > 1. (x(n)) é limitada: > Basta provar que x(n) < 2, para todo n. > Para n = 1 é óbvio. > Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. > > 2. (x(n)) é monótona crescente: > Obviamente os x(n) são todos positivos. > Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. > Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. > > (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x (n). > > Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. > A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. > > Assim, só pode ser lim x(n) = 2. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 > > Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > > > > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > > x^2 - 2 = x > > > x^2 - x - 2 = 0 > > > > > > __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================