Essa sua solucao soh estarah completa se voce provar que a sequencia: sqrt(2), sqrt(2+sqrt(2)), sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))), ... converge. Foi isso o que eu fiz abaixo.
on 06.10.04 19:25, eritotutor at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Outra soluçao: > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) > Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > Note que (*) pode ser reescrita como: > x = sqrt (u +2) e portanto: > x = sqrt (x + 2) > Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. > do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. > Portanto a soluçao eh dois. > []s > > > > ---------- Início da mensagem original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] > Cc: > Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 > Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(.... > >> Seja (x(n)) a sequência definida por: >> x(1) = raiz(2) >> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. >> >> 1. (x(n)) é limitada: >> Basta provar que x(n) < 2, para todo n. >> Para n = 1 é óbvio. >> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x > (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. >> >> 2. (x(n)) é monótona crescente: >> Obviamente os x(n) são todos positivos. >> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. >> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 > < x(n) < 2. >> >> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x > (n). >> >> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x > = -1. >> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é > positivo. >> >> Assim, só pode ser lim x(n) = 2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> De:[EMAIL PROTECTED] >> >> Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] >> >> Cópia: >> >> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 >> >> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício >> >> >> >>>> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> >>>> x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> >>> >>> >>> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da > convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero > isto converge ? >>>> x^2 - 2 = x >>>> x^2 - x - 2 = 0 >>>> >>>> > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================