Claudio Buffara wrote:
Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n.
2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 ~ 1 (mod 4). para n >= 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é par. seja n = 2r. 2^(2r) + 3^(3r) = x^2 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r) como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s x - 2^r = 3^s .... (1) x + 2^r = 3^(2r - s) .... (2)
(1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s)
note que s < 2r - s e, portanto, 3^s divide x
mas se s > 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado direito, o que é absurdo.
se s = 0, então x - 2^r = 1 => x = 2^r + 1
x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 < 3^(2r), absurdo.
[ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
