Oi, Arthur. Achei bastante interessante a sua idéia. Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou. Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para provar que eles são enumeráveis.
Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y) pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R | (x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por exemplo (-inf, 0) e [0, +inf). On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um > conjunto enumeravel. > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em > [-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n>=1 > tal que |x*sen(n) - x|) <1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais > que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel. > Artur > > --------- Mensagem Original -------- > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação > Data: 19/10/04 16:29 > > > > Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação > do problema 2 do nível U da prova de sábado. > > Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que: > (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável; > (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ________________________________________________ > OPEN Internet e Informática > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================