on 04.11.04 22:17, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Agora, com relação ao problema famoso em teoria dos números, a única coisa que > sei é que a resposta vale 8n - 4 células que contém um segmento da > circunferência....... > Muito interessante esse resultado!
E nao muito dificil de provar. De fato, basta provar que a circunferencia C: x^2 + y^2 = (n-1/2)^2 passa por 2n - 1 quadrados unitarios contidos no quadrado Q cujos vertices sao (0,0), (n,0), (0,n) e (n,n). Restrita a Q, C pode ser dada por: y = raiz((n-1/2)^2 - x^2). Na k-esima coluna de n quadrados unitarios de Q (1 <= k <= n), quantos deles contem um arco de C? A k-esima coluna estah contida entre as retas x = k-1 e x = k. Logo, o arco de C que intersecta esta coluna estah limitado pelos pontos: (k-1,raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2)) e (k,raiz((n-1/2)^2 - k^2) exceto na n-esima coluna, em que os extremos do arco serao: (n-1,raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2)) e (n-1/2,0) Isso significa que o numero de quadrados unitarios da k-esima coluna (1 <= k <= n-1) que sao intersectados por C eh igual a: teto(raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2) Na n-esima coluna, este numero eh dado por: teto(raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2) Somando, com k variando de 1 a n, obteremos o numero total de quadrados unitarios intersectados por C: SOMA(1<=k<=n-1) teto(raiz((n-1/2)^2 - (k-1)^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2) + teto(raiz((n-1/2)^2 - (n-1)^2) Rearranjando esta soma, ficamos com: teto(raiz((n-1/2)^2)) + SOMA(1<=k<=n-1) teto(raiz((n-1/2)^2 - k^2) - piso(raiz(n-1/2)^2 - k^2) O primeiro termo (fora do somatorio) eh igual a teto(n-1/2) = n. Cada termo do somatorio eh da forma teto(x) - piso(x), o que, a menos que x seja inteiro, eh igual a 1. Logo, se para 1 <= k <= n-1, raiz((n-1/2)^2 - k^2) nao for inteiro, o somatorio serah igual a uma soma de n-1 parcelas iguais a 1, o que dah um total de n + (n-1) = 2n-1 quadrados intersectados por C. Assim, pra completar a demonstracao, basta mostrar que, para 1 <= k <= n-1, raiz((n-1/2)^2 - k^2) nao eh inteiro <==> (n-1/2)^2 - k^2 nao eh quadrado perfeito. Mas (n-1/2)^2 - k^2 = n^2 - n - k^2 + 1/4 = M + 1/4, com M inteiro, o que claramente nao eh quadrado de nenhum numero inteiro. Logo, a demonstracao estah completa e, incidentalmente, a minha conjectura de que C(n)/n tende a 2*Pi eh falsa (C(n) = no de quadrados unitarios contidos no quadrado de vertices (n,n), (n,-n), (-n,n) e (-n,-n) e intersectados por C). O certo eh que C(n)/n tende a 8, mas o resultado exato C(n) = 8n - 4 eh muito mais forte. Incidentalmente, esse eh o numero de quadrados unitarios na borda da quadrdao maior. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================