Uma ideia que me ocorre eh fazer aparecer estes cossenos em algum polinomio.
Pra isso, vamos considerar as raizes 7as. da unidade e a seguinte fatoracao macetosa de x^7 - 1:
x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(4pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(6pi/7)x + 1).
(a demonstracao eh facil: basta agrupar as raizes complexas conjugadas, ou seja,
cis(2pi/7) com cis(12pi/7), cis(4pi/7) com cis(10pi/7), etc... )
Mas, cos(4pi/7) = -cos(3pi/7) e cos(6pi/7) = -cos(pi/7).
Logo:
x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 + 2cos(3pi/7)x + 1).
(x^7 - 1)/(x - 1) =
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 =
(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 + 2cos(3pi/7)x + 1)
De agora em diante, pra simplificar, vamos fazer:
A = cos(pi/7), B = -cos(2pi/7) e C = cos(3pi/7)
De forma que:
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + Ax + 1)(x^2 + Bx + 1)(x^2 + Cx + 1) (1)
Queremos o valor de:
1/A^4 + 1/B^4 + 1/C^4 =
((AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4)/(ABC)^4 = Num/Den
Fazendo x = i em (1) e simplificando, obtemos a identidade:
ABC = -1/8 (2)
ou seja,
Den = (ABC)^4 = 1/4096.
Fazendo x = 1 em (1):
(1 + A)(1 + B)(1 + C) = 7/8 ==>
1 + A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 7/8
Usando (2):
A + B + C + AB + AC + BC = 0 (3)
Fazendo x = 2 em (1) e usando (2) e (3):
(5 + 4A)(5 + 4B)(5 + 4C) = 127 ==>
125 + 100(A + B + C) + 80(AB + AC + BC) + 64ABC = 127 ==>
20(A + B + C) = 2 - 80*0 - 64*(-1/8) = 10 ==>
A + B + C = 1/2 ==>
AB + AC + BC = -1/2
Resta calcular Num = (AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4, o que pode ser feito em funcao de A + B + C, AB + AC + BC e ABC, mas as contas sao demais pra mim...
[]s,
Claudio.
on 26.01.05 13:56, cleber vieira at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá amigos,gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema:
1) Provar que
sec^4(pi/7)+sec^4(2pi/7)+sec^4(3pi/7)= 416
