Claudio Buffara wrote:
Mais um problema em aberto na lista obm-l. Eh uma especie de reciproca do famoso problema do IME de se provar que AB - BA = I eh impossivel (A, B e I: matrizes quadradas).
Prove que se M eh uma matriz quadrada entao:
traco(M) = 0 <==> existem matrizes quadradas A e B tais que M = AB - BA.
Oi!
É comum na literatura o termo "commutator" (comutador seria a minha tradução) para
[A, B] := AB - BA
Eu vi como se prova o seguinte resultado
S = {M | M é n x n, tr(M) = 0} = span{[A, B] | A, B são n x n}Defina E_{ij} como a matriz cuja coordenada (i, j) é 1 e todas as demais são 0.
Observe que para i != j, E_{ij} = [E_{ik}, E_{kj}] para qualquer 1 <= k <= n.
Também vemos que E_{ii} - E_{jj} = [E_{ij}, E_{ji}].
Qualquer matriz de S pode ser expressa como combinação linear das matrizes E_{ij} (i != j) e das matrizes E_{ii} - E_{jj}.
Isso é simples de se verificar. Se M está em S então para i != j podemos tomar M(i, j) E_{ij} na combinação linear. Para as coordenadas da diagonal, temos de usar o fato da matriz ter traço 0. Seja i o índice tal que |M(i, i)| > 0 seja mínimo e seja j tal que sinal(M(j, j)) = -sinal(M(i, i)). Adicione M(i, i) (E_{ii} - E_{jj}) à combinação linear. Repita o procedimento até que obter M.
O teorema que se pede é mais forte que isso... eu não consegui argumentar que essa combinação linear obtida pode fornecer diretamente um único commutator que representa a matriz M.
[ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
