On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Como se encontra o valor numérico de cos80°? > > Essa é uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. > cos e sen de 60 você sabe. > O problema é achar cos e sin de 20. > Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo. > E aí você tem uma equação do 3 grau. > > Não é uma boa saída tentar resolver a bendita! > > A menos > que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos, > pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na > raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e > duas complexas conjugadas). > > Dá para fazer mas é trabalhoso. > > É mais fácil fazer o seguinte: > Construa um triângulo com vértice no centro do círculo e > ângulo de de 60 = 3 * 20. Daí você divide o arco > em três partes e por semelhança de triângulos tenta achar > o valor dos lados (acho que fiz isso para achar). Daí por somas > e subtrações de segmentos acha o valor. Se eu > não me engano o valor que obtive para sin 20 era > __________ > ___ > V 3 - V 2 > > Quando você conseguir, você substititui > o valor na equação cúbica acima. > > Se o valor satisfizer a equação > beleza. Seus problemas se acabaram.
Não consegui ler nem adivinhar nada da formula acima, o que é uma pena pois eu tenho muito interesse em saber o que ela dizia. Pelo que sei, não existem formulas para c = cos(20 graus) ou s = sen(20 graus) significativamente melhores do que c = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) + cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2 s = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) - cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2i (onde sqrt significa raiz quadrada e cbrt significa raiz cúbica). Estas formulas são fáceis de demonstrar e entender. Afinal (1 +- sqrt(-3))/2 = cos(60 graus) +- i sen(60 graus) donde cbrt(1 +- sqrt(-3))/2 = cos(20 graus) +- i sen(20 graus) Por outro lado, elas são em certo sentido tautologicas e inúteis. Sei também que não é possível reescrever as expressões acima usando apenas raízes quadradas e cúbicas reais, isto é um problema de teoria de Galois e o Gugu já escreveu um artigo sobre isto. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================