On Fri, May 06, 2005 at 10:31:32PM -0300, Claudio Buffara wrote: > on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: > >> Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos > >> complexos? > > > > Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)). > > Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com > mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh > na existencia das bases?
Em geral, você precisa do axioma da escolha para provar que espaços vetoriais de dimensão infinita têm bases. Nestes casos particulares (C e R como Q-e.v.) eu sei que você precisa de alguma versão do axioma da escolha. É consistente com ZF (teoria dos conjuntos usual sem o axioma da escolha) que todo subconjunto de R seja Lebesgue mensurável. No entanto é fácil, dada uma base para R como Q-e.v., construir um subconjunto A de [0,1] tal que uma união disjunta de uma quantidade infinita e enumerável de transladados de A contém [b,c] e está contida em [a,d], a<b<c<d. Por outro lado eu não sei dizer se é possível construir o isomorfismo que você pediu inicialmente sem o axioma da escolha. Quanto a sua outra pergunta, sejam V1 e V2 dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Sejam B1 e B2 bases de V1 e V2, respectivamente. Seja f: B1 -> B2 uma bijeção. Então podemos estender f de forma unica a uma transformação linear F: V1 -> V2 e não é difícil provar que F é isomorfismo. Falando neste tipo de coisa, quase todos os espaços vetoriais de dimensão infinita que aparecem em análise funcional têm dimensão (no sentido algébrico) igual a c, o cardinal de R. Um outro teorema bem mais difícil e profundo diz que quaisquer dois espaços de Banach de dimensão infinita e separáveis são homeomorfos. O porém é que o isomorfismo como espaço vetorial é muito descontínuo e o homeomorfismo não é linear. Assim dois espaços de Banach em geral (com hipóteses bem razoáveis) são isomorfos no sentido algébrico e são homeomorfos, mas nem por isso são isomorfos como espaços de Banach. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
