Suponha, por absurdo, que exista c em (0,1] tal que f(c) != f(0) = 1. Então, pelo teorema do valor intermediario, para todo y0 em [f(0), f(c)] u [f(c), f(0)] existe x0 em [0,c] tal que y0 = f(x0) (i.e., f assume todos os valores entre 1 e c). Mas sabemos que entre 0 e c (0!=c por hipotese) existem infinitos números irracionais. Então, pelo teorema do valor intermediário, supor que f assuma algum valor diferente de 1 implica f assumir algum valor irracional, o que contraria a hipótese. Logo, não se pode supor que f assuma valor diferente de 1. Portanto, f(x) = 1, para todo x em [0,1].
Se quiser uma resolução mais detalhada, teríamos que provar o teorema do valor intermediário, o que é relativamente simples usando a propriedade do supremo, e também provar que entre 2 reais distintos quaisquer existem infinitos irracionas, o que também sai da propriedade do supremo
Abraço
Bruno
On 7/6/05, Carlos Gomes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Como faço esta?Se f: [0,1] --> R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].
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Bruno França dos Reis
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