tg C= tg A + tg B/ 1- tg A. tgB tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C
Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao e mesmo unica. Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um dos caras X,Y,Z e no maximo 2. --- Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja. > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que 2, > ou seja, > tg A = 2 + x > tg B = 2 + y (x,y >0) > > A + B + C = 180 > A + B = 180 -C > tg (A + B ) = - tg C > tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y) > +xy) > = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy) > > tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy) > > Teremos que tg C > 2 <=> > 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy > <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0 > Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma > nunca é negativa > ou seja, nunca vale que tg C > 2 > > ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que 2 > (simultaneamente) > > > > Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica! > > > > > > '>'-- Mensagem Original -- > '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 > '>'From: Marcio > > '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br > '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > '>' > '>' > '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson > Franca > '>' wrote: > '>' > '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem > alguma idéia de como resolver > '>' > '>'> ? > '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de umtriângulo > e, supondo que as > > '>'> tangentes dos três ângulos sejam números > inteiros e positivos, calcule > '>' > '>'> essas tangentes. > '>'> Valeu > '>'> > '>'> > __________________________________________________ > '>'> Converse com seus amigos em tempo real com o > Yahoo! Messenger > '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/ > '>' > '>' > '>' > '>'-- > '>'Using Opera's revolutionary e-mail client: > http://www.opera.com/mail/ > '>' > '>'Oi, Jefferson. > '>' > '>'Se não errei nada, aqui vai. > '>' > '>'Ângulos: a, b e c > '>' > '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou > seja, tg(a + b + c) = 0 > '>' > '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. > '>' > '>'No final das contas, chega-se a > '>' > '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) > '>' > '>'Como as tangentes são números inteiros e > positivos, uma opção (não sei > se > '>' > '>'única) é > '>' > '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 > '>' > '>' > '>'[]s, > '>' > '>'Márcio. > '>'========================================================================= > '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > '>'========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > > > --------------------------------- > Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. > Instale o discador agora! __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================