No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que converge uniformente para uma funcao g. Mas nao consegui provar que existe um ponto u no qual a sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra condicao que me garantissse a convergencia da sequencia das primitivas. Mas nao achei.
No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > porque precisa da hipótese > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > um pouco de utilidade > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > usado para provar > convergência de funções definidas por integrais, que > então tem todas um > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > inicial no caso de funções > \int_a^x g_n(t) dt) > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > convergência em um ponto da > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > "trocar derivada com > integral", usando que você tem um ponto (este u > especial) onde as séries > coincidem no infinito (ou seja, para n > suficientemente grande, | f_n(u) - > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > derivadas, você pode > definir uma > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > convergência uniforme das g_n, > você tem a convergência da integral da diferença > para zero, e portanto você > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > também convergência de > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > achar um ponto onde > estas funções coincidem, utilizando alguma > particularidade das funcões g_n. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 8/16/05, claudio.buffara > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > *De:* [EMAIL PROTECTED] > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > *Cópia:* > > *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > derivadas > > > Bom dia a todos > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > diferenciaveis em um > > intervalo > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > f'_n convirja > > uniformemente > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > que, se a sequencia de > > numero > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > f_n converge > > uniformemente > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > ultima condicao eh > > > realmente essencial? > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > uniformemente para a função > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > converge. > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > converge. > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > I, já > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > convergencia das > > primitivas? > > Não, conforme o exemplo acima. > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > continuas, temos entao alguma > > > conclusao interessante, alem de que g eh > continua? > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> > f_n' integrável. Mas > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) > para algum u. > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > caso em que as f'_n sao > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > convergente para algum u > > permanece necessária. > > []s, > > Claudio. > > > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================