Esta
solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando
calculo.
Mas e
tivessemos algo mais geral do tipo,
minimizar (k + a_1).....(k +_a_n),
k>0
dado que a_1 * a_2 *.....a_n = p
a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia
complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade
MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = ....a_n =
p^(1/n).
Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh
hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes
sao classe C^2
Artur
-----Mensagem
original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03
Para: obm-l
Assunto: RE: RES: [obm-l]
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03
Para: obm-l
Assunto: RE: RES: [obm-l]
Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte:Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então:(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^ne vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n.Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG).Expandindo o lado esquerdo, teremos:1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n...S_n = a_1*a_2*...*a_n.É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k).Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.Finalmente, vale a igualdade <==>S_1 = Binom(n,1) = n <==>a_1 = ... = a_n.[]s,Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300
Assunto: RE: RES: [obm-l] > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi> muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.>> []s,> Daniel>> '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade,> o> '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores> de> '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao> '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se> decidir> '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh> maximo> '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no> caso> '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas> '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos> '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral,> exige> '>'condicoes de convexidade ou concavidade.> '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como> este,> '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me> lembro> '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto> eh> '>'maximo ou minimo global.> '>'> '>'Artur>>> =========================================================================> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =========================================================================>