E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto seja fechado?
[]s,
Claudio.
De: | [EMAIL PROTECTED] |
Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
Cópia: |
Data: | Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 |
Assunto: | RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio |
> Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
>
> Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1.
>
> A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
>
> Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos.
>
> Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.
>
> Artur
>
] -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
] -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> Oi, pessoal:>> Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:>> Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio.>> Outros dois bonitinhos são:> Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.> e> Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.>> No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado?>> []s,> Claudio.>