Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
Eu também.
É claro que você pode trapacear e definir f: R -> R como:
f(x) = 0, se x é racional
f(x) = 1, se x é irracional algébrico
f(x) = 2, se x é transcendente
Nesse caso, a restrição de f a Q é contínua por ser constante, mas a restrição de f a R - Q é descontínua em todo ponto, pois o conjunto dos algébricos irracionais é denso em R - Q. Infelizmente, não é isso que você está pedindo...
O problema é que o conjunto dos pontos onde uma função real é contínua pode ser expresso como uma interseccção no máximo enumerável de abertos.
Infelizmente, Q não pode ser expresso como uma tal intersecção (teorema de Baire)
[]s,
Claudio.
