--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > É para aprender mais do que para qualquer outra > coisa. > > > (*)A propósito, qual é a prova de que toda função > > meromórfica tem expensão em frações parciais?? > Estou > > (quase) certo de que isso é verdade, mas não > conheço a > > prova... Acho até que vale para toda função > analítica. > > Não sei direito qual é o enunciado do que você está > tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por > exemplo, > você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) = > (e^z - 1)/z > é inteira. É este tipo de decomposição que você quer > provar > que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao > redor de qq polo)? > Se for, isto segue diretamente da série de > Taylor-Laurent. > Ou será que você está falando de coisas tipo a série > abaixo: > > tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) + > (1/(z+((2k-1)*pi/2))) >
Boa tarde professor Nicolau, Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_.... Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora num primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja possível incluí-las também). Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não é restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo me explicar um pouco melhor. É bem conhecido que se pode obter este tipo de expressão (uma decomposição em funções parciais) para funções racionais. Isso é uma consequência do teorema fundamental da álgebra, já você pode escrever o denominador na forma produto de raízes e depois decompô-lo em cada pólo. Ex: f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))= =1+1/(x-1)-1/(x+1) Então, neste aspecto o teorema fundamental da álgebra diz o seguinte: "funções racionais são univocamente caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos" (Acho até que só pelos pólos, considerando que para caracterizar o pólo seja necessário localização, multiplicidade e resíduos). Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função racional é completamente caracterizada pelas suas singularidades. O fato de você poder obter uma decomposição em frações parciais é consequência disso. Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo menos para funções meromórficas. A resposta é sim, pelo menos para funções trigonométricas e hiperbólicas. Exemplos: sec(x) = SOMA_{k=1,2,...} (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2)) - 1/(x+((2*k-1)*Pi/2))) sech(x) = SOMA_{k=1,2,...} (-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2)) cotan(x) = 1/x +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi)) csc(x)^2 = 1/x^2 +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2) (cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))= = SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4) etc... Ou seja , dizer que as singularidades identificam a função e que pode obter-se uma expansão em frações parciais com os pólos vale para racionais, trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue é: será que vale para todas as meromórficas???! Não sei se eu consegui explicar direito, e naturalmente existe a possibilidade que eu tenha me perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um pouco mais este final de semana, se eu achar alguma coisa, boto na lista. []´s Demétrio > (espero ter acertado) > Este tipo de expressão não é um caso particular de > um teorema geral, > é uma propriedade especial de uma função especial > (no caso, tan). > > []s, N. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > _______________________________________________________ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================