No caso da parábola é mais fácil. Seja y^2= 4bx ( b=p/2 na notação canônica ) a equação da parábola com foco F(b,0) e diretriz y=-b. Pela propriedade da parábola: PF=x+b é fácil obter
PF=2b/(1-cos t) onde t, como na solução para a elipse, é o ângulo que PF forma com o eixo dos x. Para o complemento da corda, novamente, basta trocar o sinal de cos t: P'F=2b/(1+cos t) Somando temos o comprimento da corda focal dada por PP'=4b/(sen t)^2 (seria interessante interpretar geométricamente? ), cujo mínimo é 4b para t=pi/2 Um PS ao Denisson: se A está no eixo menor AF não pode ser perpendicular ao eixo (maior?) a não ser que a elipse tenha degenerado em circunferência, e=1) --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Prezado Denisson > > Gostaria muito de entender tua solução poquê, > logo > abaixo, estou postando meus "rabiscos" que parecem > não > serem tão elegantes e sucintos quanto o que vc. > apresenta; mas sinceramente nem entendí se é uma > elipse > nem, p.e., como AF pode ser perpendicular ao eixo se > tanto A quanto F estão no eixo? Seriam A e B pontos > da > curva em vez de do eixo? Mas como ficam os tais > triângulos congruentes? > > Bem, respiremos fundo, que lá vai minha > proposta. > Consideremos a elipse centrada na origem do > sistema de cooredenadas, com semi-eixo maior, a, > paralelo ao eixo dos x, semi eixo menor b e c = > sqrt(a^2-b^2) a semi distância focal, sendo F(c,0), > F'(-c,0)os focos e P(x,y) um ponto genérico na > curva. > Aplicando a lei dos cossenoas ao triângulo FPF' > e > a propriedade PF+PF'=2a, não é dificil chegar a > > PF = b^2/(a+c*cos t) onde t é o angulo que PF > faz > com o eixo dos x. > > O complemento da corda, PF' tem sua expressão > modificada apenas pelo ângulo t-pi em lugar de t ou > > > trocando o sinal de cos t: > > P'F = b^2/(a-c*cost), > > Somando temos o comprimento da corda focal: > > PP'=2b^2/(a^2-c^2*(cos t)^2) > > que assume um mínimo quando (cos t)^2=0 for > mínimo, i.e., t=pi/2. > > > Mas, por favor, explique seu raciocínio. > > > []s > > Wilner > > --- Denisson <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Aparentemente o que se tem que provar é que dado > um > > ponto e uma reta, a > > perpendicular é menor que qualquer oblíqua. Bom, > axo > > que cabe uma prova > > aqui: > > > > > > Axioma 1: A menor distância entre dois pontos é > uma > > reta. > > > > Seja F o foco, A e B pontos do eixo tais que AF é > > uma perpendicular ao eixo > > e BF qualquer oblíqua. Prolongue o segmento AF até > > um ponto A' tal que AF = > > AA'. Depois ligue BA'. Perceba que formamos dois > > triângulos congruentes, > > então A'B = BF. Note também que segundo o nosso > > axioma A'F < A'BF -> A'A + > > AF < A'B + BF -> 2*AF < 2*BF e portanto AF<BF. > > > > Traduzindo, a corda traçada por um dos focos > > perpendicularmente ao eixo é a > > corda focal mínima... > > > > > > > > > > Em 04/11/05, Igor O.A. <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > > Estava lendo um livro de geometria analítica e, > no > > capítulo de ELIPSES, > > > havia a seguinte AFIRMAÇÃO: > > > > > > "A corda traçada por um dos focos, > > perpendicularmente ao eixo, denomina-se > > > *latus rectum corda *ou* focal mínima."* > > > Ou seja, essa tal corda é a de menor > comprimento > > que passa pelo foco. > > > Mas... COMO PROVAR ISSO??? > > > No capítulo de PARÁBOLA também há uma > AFIRMAÇÃO > > bem parecida com a > > > anterior: > > > "A corda tirada pelo foco, paralelamente à > > diretriz, recebe a denominação > > > de *latus rectum corda *ou* focal mínima."* > > > Gostaria também de saber como provar essa > > afirmação no caso de uma > > > parábola. > > > ** > > > Obrigado. > > > > > > > > > -- > > > I G O R > > > > > > Jesus ama você. > > > > > > > > > > > -- > > Denisson > > > > "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a > > deves esquecer: > > É só com o coração que se pode ver direito. O > > essencial é invisível aos > > olhos!" (Saint Exupèrry) > > > > > > > > > > > > _______________________________________________________ > > Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. > Instale o discador agora! > http://br.acesso.yahoo.com/ > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================