---------- Cabeçalho original -----------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 28 Sep 2006 18:25:17 -0200
Assunto: [obm-l] Norma de vetores e produto interno
> Estou calculando a norma das seguintes matrizes:
> 1 -1 2 1
> 0 1 ; -1 1
> Obtenho raiz de 3 como resposta da primeira e raiz de 7 como resposta da
> segunda. Só que no Boldrini a resposta e 2 e raiz de 10. Qual o procedimento
> correto para realizar esse cálculo?
>
>
A norma de uma matriz real mxn eh igual a max{|Av|; |v| = 1}, onde v eh um
vetor nx1 (de norma 1).
Naturalmente, isso vai depender das normas adotadas em R^m e R^n.
No caso, m = n = 2 e, assim, o livro deve explicitar a norma (ou normas) que
ele estah usando em R^2.
Se for a norma euclidiana (|(x,y)| = raiz(x^2+y^2)) entao |A| = raiz quadrada
do maior autovalor de A^t*A, onde A^t = transposta de A.
(repare que A^t*A eh simetrica e positiva semi-definida, de modo que os
autovalores sao reais e nao-negativos e, portanto, a norma
estah bem definida). Alias, provar que esta eh mesmo a norma de A (com norma
euclidiana em R^m e R^n) eh um bom exercicio de
calculo de varias variaveis e algebra linear.
No primeiro caso, temos A^t*A =
2 -1
-1 1
Logo, pc(t) = t^2 - 3t + 1 ==> autovalores = (3 +/- raiz(5))/2 ==> raiz(maior
autovalor) = (1+raiz(5))/2
No segundo caso, B^t*B =
5 -1
-1 2
pc(t) = t^2 - 7t + 9 ==> autovalores = (7 +/- raiz(13))/2 ==> raiz(maior
autovalor) = (1+raiz(13))/2
Imagino que voce tenha usado que |A| = raiz(soma dos quadrados dos coeficientes
de A), o que eh valido quando A eh um funcional
linear de R^n (com norma euclidiana) em R.
No entanto, dadas as respostas do Boldrini, nao consigo identificar que norma
(ou normas) ele estah usando no R^2. Como |B| envolve
uma raiz quadrada (raiz(10)), eu diria que no dominio ou contradominio a norma
deve ser euclidiana.
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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