Oi, Claudio,
Para a turma não versada em seu argumento sobre o fato do heptágono
não ser construtível com régua e compasso segue o ...
Teorema de Gauss
Um polígono regular de n lados, n impar, é construtível com régua e
compasso se e somente se n é produto de primos de Fermat (isto é
primos da forma 2^2^k +1). Logo, como os únicos primos de Fermat
conhecidos são 3, 5, 17, 257 e 65537, o heptágono tá fora... e
surpreendentemente o 17 tá dentro... !
Abraços,
Nehab
At 12:28 1/10/2006, you wrote:
---------- Cabeçalho original -----------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto
> ...
> P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
> Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7 e -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são
> as 3 raízes de P(Y).
Gostei!
E aqui vao dois corolarios:
Fazendo X = 2Y, obtemos P(Y) = F(X) = X^3 - X^2 - 2X + 1, cujas raizes sao:
2*cos(pi/7), 2*cos(3pi/7) e 2*cos(5pi/7)
1) Como cos(0) = 1, cos(2*pi/7) = -cos(5*pi/7) e cos(4*pi/7) =
-cos(3*pi/7), concluimos que 2*cos(k*pi/7) eh inteiro algebrico para todo k
em Z.
2) F(1) = -1 e F(-1) = 1 ==> F(X) nao tem raizes racionais ==> F(X)
eh irredutivel sobre Q
Q[x]/<F(x)> eh uma extensao algebrica de grau 3 de Q ==>
2*cos(pi/7) nao eh construtivel com regua e compasso ==>
o heptagono regular nao eh construtivel com regua e compasso
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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