Zeca Mattos wrote:
Seja n E N com n > 1 fixado. Considere o conjunto:
A = {p/q: p,q E Z e 0 < q < n}
Definimos f:R->R por f(x) = [cos(n!pix)]^2n
Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f, então:
É mais fácil pensar com números, primeiro e generalizar depois.
Faça n = 5 por exemplo.
q =1,2,3,4 ==> A = {p, p/2, p/3, p/4}
f(A) = { [cos((5!). pi) . p)]^10, [cos((5!/2). pi . p)]^10,
[cos((5!/3). pi) . p)]^10, [cos((5!/4). pi . p)]^10}
Agora note que n!/q é inteiro se q<n logo n! * p/q também é inteiro
porque p é inteiro. Temos então que n! * p/q = k em Z. E portanto
[cos(n!pix)] = +1 ou -1
Como tal expressão está elevada a um expoente par que
no caso é 2n o resultado só pode ser 1.
Veja que esta questão faz o candidato pensar logicamente. Ela não
envolve
nenhum tipo de conta, só argumentação :)
Abraço
Ronaldo.
*Resp.: F(A) = {1}*
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,
Zeca
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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