---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel!
> Pessoal como faço pra resolver essa equação? > Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x > > Desde já fico agredecido por qualquer manifestação! > Abraços a todos! Rodolfo. > x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes. Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos: 4^x + 10^x = 6^x + 8^x ==> (7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) -> R dada por: f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x. Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3). f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos: 7 + t > 7 - t > 0 ==> se x > 1, entao (7 + t)^(x-1) > (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0 se 0 < x < 1, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) < 0 se x < 0, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0 (pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x < 0) Assim: x > 1 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3) 0 < x < 1 ==> f_x'(t) < 0 ==> f_x eh decrescente ==> f_x(1) > f_x(3) x < 0 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3) Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================