A respeito de sequencias de médias, vou propor uma outra questão que também acho interessante e não me parece muito difundida:
Sejam a_n uma sequencia de numeros reais, p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n a sequencia das medias ponderadas dos a_n pelos p_n, isto eh, s_n = (Soma(i=1,n)(p_i * a_i))/Soma(i=1,n)(p_i) a) Se Soma (i=1, oo) p_n divergir, entao lim inf a_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup a_n (obviamente, a desigualdade do meio vale para qualquer seq. de reais). Daih concluimos que, se a_n -> a, então s_n -> a, mesmo que a = oo ou a = -oo. b) Se Soma (i=1, oo) p_n convergir, entao, se a_n for limitada, s_n converge em R. Logo, se a_n ->a em R , entao s_n -> s em R, podendo-se ter a <> s. Consideracoes analogas vale para a sequencia das medias geometricas ponderadas. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: quarta-feira, 13 de dezembro de 2006 06:49 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Seqüência de médias aritméticas e geométricas http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 12 Dec 2006 19:08:32 -0200 Assunto: [obm-l] Seqüência de médias aritméticas e geométricas > Olá a todos. Há algum tempo imaginei um problema que tentei resolver mas não > consegui. Eu achei interessante, e gostaria de compartilhar: > > Sejam a_0, b_0 reais positivos não nulos. Defina as seguintes seqüências: > > a_i = sqrt(a_(i-1) * b_(i-1)) > b_i = 1/2 * (a_(i-1) + b_(i-1)) > > Isto é: a seq. a é das médias geometricas dos 2 termos anteriores de cada > seq. a e b. > A seq. b é a das médias aritméticas dos termos anteriores das seqs. a e b. > > Provar que ambas convergem, e para o mesmo valor, é simples. Agora a questão > que não quer calar: qual é o limite destas seqüências, em função apenas dos > termos iniciais? > > Abraço, > Bruno > > -- > Bruno França dos Reis > email: bfreis - gmail.com > gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > icq: 12626000 > > e^(pi*i)+1=0 > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================