Re: [obm-l] Maximização

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Vinícius,

Como é meu hábito, ao invés de resolver  problema básicos postados, 
vou dar o caminho das pedras, propondo outro problema simples para 
você ter uma percepção geométrica dos problemas propostos:

Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z = x + 2y, 
sabendo que:

(1)  x >= 0
(2)  y >= 0
(3)  x + y <= 5
(4)  3x + 2y >= 6

Note que todas as "restrições" são lineares e se você pensar no plano 
xy perceberá que cada restrição define uma região do plano.
(1) região do 1 e 4 quadrantes;
(2) região do 1 e 2 quadrantes;
(3) região "abaixo" da reta que passa pelos pontos (0;5) e (5;0);
(4) região acima da reta que passa pelos pontos (2;0) e (0;3).

A interseção destas regiões é um quadrilátero de vértices nos pontos 
(2;0); (5;0); (0;3) e (0;5).

Agora imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você 
quer maximizar...

Veja que as reta  4 = x + 2y  e 6 = x + 2y são paralelas e quanto 
maior o valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou seja, se você 
vai aumentando z, o gráfico da reta  z = x + 2y vai subindo...

Ora, desejamos um par (x;y) que esteja "na região delimitada pelo 
quadrilátero"  e que torne a expressão z = x + 2y máxima, certo?

Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a uma 
reta que "encoste" na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto 
possível, você entendeu a interpretação geométrica do problema de 
programação linear.

E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção das 
retas  x + y = 5   e  3x + 2y = 6   (veja as restrições 3 e 4).  Daí 
basta calcular o valor de z para este par.

Espero ter ajudado.

Abraços,
Nehab

At 07:25 30/3/2007, you wrote:
Bom dia.
Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas 
de maximização:

"Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: 
malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para 
fabricação. As malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro 
por unidade da mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias 
para confeccionar cada produto, assim como o número total de horas 
disponíveis em cada departamento, são apresentados a seguir:
Departamento 1
Horas / dia: 300
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias (mochila): 0 (não produz)
Departamento 2
Horas / dia: 540
Horas necessárias (mala): 0 (não produz)
Horas necessárias (mochila): 3
Departamento 3
Horas / dia: 440
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias (mochila): 2
Departamento 4
Horas / dia: 300
Horas necessárias (mala): 6/5
Horas necessárias (mochila): 3/2

Maximizar o lucro da empresa."

"Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de 
aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os 
dados abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos 
três departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada 
departamento e o lucro unitário de cada placa:

Departamento I: Tempo disponível: 900h
Departamento II: Tempo disponível: 400h
Departamento III: Tempo disponível: 600h

Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40):
Operações em horas (departamento I): 2h
Operações em horas (departamento II): 2h
Operações em horas (departamento III): 4h

Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30):
Operações em horas (departamento I): 5h
Operações em horas (departamento II): 5h
Operações em horas (departamento III): 2h

Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20):
Operações em horas (departamento I): 10h
Operações em horas (departamento II): 3h
Operações em horas (departamento III): 2h

Maximizar o lucro da empresa."

Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y):
Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4)
Restrições de cada departamento:
2x1 + 0y1 <= 300
3y2 + 0x2 <= 540
2x3 + 2y3 <= 440
(6/5)x4 + (3/2)y4 <= 300

Equação e inequações do segundo problema:
Função lucro: 40a + 30b + 20c
Restrições de cada departamento:
2a+5b+10c<=900
2a+5b+3c<=400
4a+2b+2c<=600

Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual 
à maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições 
interdependentes e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro 
problema) ou três (no segundo problema) inequações?
Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser 
considerada a maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para 
que as restrições pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes?

Obg,
Vinícius