Oi Nehab,
obrigado. Esclareceu o problema para mim.
Abs!
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: sexta-feira, 30 de março de 2007 17:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Maximização
Oi, Vinícius,
Como é meu hábito, ao invés de resolver problema básicos postados, vou
dar o caminho das pedras, propondo outro problema simples para você ter uma
percepção geométrica dos problemas propostos:
Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z = x + 2y,
sabendo que:
(1) x >= 0
(2) y >= 0
(3) x + y <= 5
(4) 3x + 2y >= 6
Note que todas as "restrições" são lineares e se você pensar no plano xy
perceberá que cada restrição define uma região do plano.
(1) região do 1 e 4 quadrantes;
(2) região do 1 e 2 quadrantes;
(3) região "abaixo" da reta que passa pelos pontos (0;5) e (5;0);
(4) região acima da reta que passa pelos pontos (2;0) e (0;3).
A interseção destas regiões é um quadrilátero de vértices nos pontos
(2;0); (5;0); (0;3) e (0;5).
Agora imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você quer
maximizar...
Veja que as reta 4 = x + 2y e 6 = x + 2y são paralelas e quanto maior o
valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou seja, se você vai aumentando
z, o gráfico da reta z = x + 2y vai subindo...
Ora, desejamos um par (x;y) que esteja "na região delimitada pelo
quadrilátero" e que torne a expressão z = x + 2y máxima, certo?
Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a uma reta
que "encoste" na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto possível,
você entendeu a interpretação geométrica do problema de programação linear.
E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção das retas
x + y = 5 e 3x + 2y = 6 (veja as restrições 3 e 4). Daí basta calcular
o valor de z para este par.
Espero ter ajudado.
Abraços,
Nehab
At 07:25 30/3/2007, you wrote:
Bom dia.
Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas de
maximização:
"Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: malas e
mochilas. A empresa tem quatro departamentos para fabricação. As malas são
vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por unidade da mochila é R$ 40.
As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada produto, assim
como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são
apresentados a seguir:
Departamento 1
Horas / dia: 300
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias (mochila): 0 (não produz)
Departamento 2
Horas / dia: 540
Horas necessárias (mala): 0 (não produz)
Horas necessárias (mochila): 3
Departamento 3
Horas / dia: 440
Horas necessárias (mala): 2
Horas necessárias (mochila): 2
Departamento 4
Horas / dia: 300
Horas necessárias (mala): 6/5
Horas necessárias (mochila): 3/2
Maximizar o lucro da empresa."
"Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de
aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os dados
abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos três
departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada departamento e
o lucro unitário de cada placa:
Departamento I: Tempo disponível: 900h
Departamento II: Tempo disponível: 400h
Departamento III: Tempo disponível: 600h
Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40):
Operações em horas (departamento I): 2h
Operações em horas (departamento II): 2h
Operações em horas (departamento III): 4h
Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30):
Operações em horas (departamento I): 5h
Operações em horas (departamento II): 5h
Operações em horas (departamento III): 2h
Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20):
Operações em horas (departamento I): 10h
Operações em horas (departamento II): 3h
Operações em horas (departamento III): 2h
Maximizar o lucro da empresa."
Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y):
Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4)
Restrições de cada departamento:
2x1 + 0y1 <= 300
3y2 + 0x2 <= 540
2x3 + 2y3 <= 440
(6/5)x4 + (3/2)y4 <= 300
Equação e inequações do segundo problema:
Função lucro: 40a + 30b + 20c
Restrições de cada departamento:
2a+5b+10c<=900
2a+5b+3c<=400
4a+2b+2c<=600
Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à
maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições interdependentes
e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro problema) ou três (no
segundo problema) inequações?
Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser considerada a
maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para que as restrições
pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes?
Obg,
Vinícius
