Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um
natural N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em
L, com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos
encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo
à distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A
e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um
natural n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo
elemento, estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma,
tomamos n_2 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento,
todo mundo estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o
maior dos dois naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a
partir de N, para qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no
máximo eps/2 do respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n,
a partir desse N estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B.
Assim vemos que para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a
partir dele, a seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de
A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Claudio,
não entendi *"b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| <
eps/2*."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|<eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
----- Mensagem original ----
De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
---------- Cabeçalho original -----------
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.....<=a_k. Calcule
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bruno França dos Reis
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