Ola Klaus, isto vem diretamente da definicao de lim b_k = 0 ... vejamos: lim a_k = L qualquer que seja eps>0, existe n tal que k > n implica |a_k - L| < eps
basta fazermos L=0, a_k = b_k e, ao inves de eps, vamos colocar eps/2 abracos, Salhab On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Claudio, não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|<eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. ----- Mensagem original ---- De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br> Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.....<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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