Na realidade, esta conclusao não se limita aa funcao seno, mas vale para qualquer funcao periodica, continua e nao constante. Vamos mostrar a seguinte afirmacao: Se f: R-> R eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh uniformemente continua. Seja p>0 o periodo fundamental de f. Como f nao eh constante, existem a e b em R tais que f(a) <> f(b). Sejam a_n e b_n sequencias dadas por a_n = raiz(a + n*p) e b_n = raiz(b + n*p). Entao, lim (a_n - b_n) =0 e lim (g(a_n) - g(b_n)) = lim( f(a + n*p) - f(b + n*p)) = lim (f(a) - f(b)) = f(a) - f(b) <> 0, pois f(a) <> f(b). Sabemos que uma funcao h eh uniformemente continua em R se, e somente se, para todas sequencias u_n e v_n em R tais (u_n - v_n) -> 0, tenhamos que (h(u_n) - h(v_n)) -> 0 . Como isto nao se verifica para o caso de g e das sequencias a_n e b_n, concluimos que g nao eh uniformemente continua. Corolario: Se f: R-> R eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh periodica. Sabemos que, se uma funcao for periodica e continua em R, entao esta funcao eh uniformemente continua em R. Dado que g eh continua (composicao de duas funcoes continuas) mas, conforme visto, nao eh uniformemente continua, segue-se, por contraposicao, que g nao eh periodica em R. [Artur Costa Steiner] -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Ronaldo Alonso Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 12:59 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria
On 2/25/07, Pedro Costa < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Colegas da lista, me tire algumas duvidas. 1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar? Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2) = f(x+T) ==> x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi (k inteiro) x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi 2xT+T^2 + 2k*pi = 0 T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2 = -x +- raiz(x^2 - k^2) Bom... então se T depende de x, é claro que a função não pode ser periódica ... [] 2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar. quem é um racional? 3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ? Neste caso não há notação específica (não que eu conheça). []s -- --------------------------------------------------------- Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.