Na realidade, esta conclusao não se limita aa funcao seno, mas vale para
qualquer funcao periodica, continua e nao constante.
Vamos mostrar a seguinte afirmacao: Se f: R-> R eh periodica, continua e nao
constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh uniformemente continua.
Seja p>0 o periodo fundamental de f. Como f nao eh constante, existem a e b em
R tais que f(a) <> f(b). Sejam a_n e b_n sequencias dadas por a_n = raiz(a +
n*p) e b_n = raiz(b + n*p). Entao, lim (a_n - b_n) =0 e lim (g(a_n) - g(b_n)) =
lim( f(a + n*p) - f(b + n*p)) = lim (f(a) - f(b)) = f(a) - f(b) <> 0, pois
f(a) <> f(b). Sabemos que uma funcao h eh uniformemente continua em R se, e
somente se, para todas sequencias u_n e v_n em R tais (u_n - v_n) -> 0,
tenhamos que (h(u_n) - h(v_n)) -> 0 . Como isto nao se verifica para o caso de
g e das sequencias a_n e b_n, concluimos que g nao eh uniformemente continua.
Corolario: Se f: R-> R eh periodica, continua e nao constante em R, entao a
funcao g(x) = f(x^2) não eh periodica.
Sabemos que, se uma funcao for periodica e continua em R, entao esta funcao eh
uniformemente continua em R. Dado que g eh continua (composicao de duas
funcoes continuas) mas, conforme visto, nao eh uniformemente continua,
segue-se, por contraposicao, que g nao eh periodica em R.
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Ronaldo Alonso
Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 12:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria
On 2/25/07, Pedro Costa < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
Colegas da lista, me tire algumas duvidas.
1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar?
Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2) = f(x+T) ==>
x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi (k inteiro)
x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi
2xT+T^2 + 2k*pi = 0
T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2
= -x +- raiz(x^2 - k^2)
Bom... então se T depende de x,
é claro que a função não pode ser periódica ...
[]
2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente
de um.Se não como faço para demonstrar.
quem é um racional?
3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso
parar diferenciar ?
Neste caso não há notação específica (não que eu conheça).
[]s
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Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
