> Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs. Rivaldo. Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem > precisa ter um limite. > Basta que o limite de |b_n| seja 1. > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo: > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2. > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > raiz(1 > - |a|^2). > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2). > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente > inferior a a. > > De qualquer forma, T eh isometria ==> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==> > T eh uniformemente continua ==> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja > uniformemente continua em fecho(B). > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B). > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha. > > []s, > Claudio. > > ---------- Cabeçalho original ----------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT) > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >> > >> >> Ola Claudio. >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia >> ainda esta em B. >> >> Abs. >> >> Rivaldo. >> >> >> Tem razao. Mancada minha... >> > >> > O problema eh provar que: >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0, >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} >> > >> > Aqui vai uma nova tentativa: >> > >> > Seja T(0) = a. >> > Seja b um ponto qualquer de B. >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. >> > Eh claro que b tambem pertence a B. >> > Entao: >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**) >> > Alem disso, >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> >> > igualdade na desigualdade triangular, >> > que associada a (*) e (**) implica que: >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. >> > >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n). >> > Nesse caso: >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido >> em B. >> > >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2. >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de >> comprimento >> > 2 eh a origem. >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah >> ser o >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n. >> > Conclusao: a = 0. >> > >> > Acho que agora foi... >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> > >> > De: [EMAIL PROTECTED] >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> > Cópia: >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT) >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria >> > >> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- >> >> > >> >> > De: [EMAIL PROTECTED] >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> > Cópia: >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT) >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria >> >> > >> >> >> >Ola Claudio. >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita >> precisariamos >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a, >> >> -b >> >> nao colineares nao garante esse fato. >> >> >> >> Abs. >> >> >> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria. >> >> >> Provar que T(0)=0. >> >> >> >> >> > >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em >> >> relacao >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a). >> >> > >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular >> >> estrita: >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| = >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| = >> >> > 2|b| = >> >> > |2b| = >> >> > |b - (-b)| = >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao. >> >> > >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0. >> >> > >> >> > []s, >> >> > Claudio. >> >> > >> >> > >> >> > ========================================================================= >> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >> > ========================================================================= >> >> > >> >> >> >> >> >> ========================================================================= >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >> ========================================================================= >> >> >> >> >> > >> > >> > ========================================================================= >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> > ========================================================================= >> > >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================