Artur Costa Steiner wrote:
> Ainda nao consegui encontra uma prova para este teorema, parece interessante: > > Seja (X, T) um espaco de Hausdorff compacto (para facilitar, podemos ver X > como um espaco metrico) e seja f uma funcao continua de X em X. Se f(X)for > um subconjunto proprio de X, existe entao um subconjunto invariante e proprio > de X. Dizemos que um subconjunto A de X eh invariante se f(A) = A. > Olá Arthur: Esse teorema é muito usado em sistemas dinâmicos. Um exemplo de aplicação: Seja f(x) = 4x(1-x) que é o mapa logístico. Podemos então tomar A = [0,1/2] que é um subconjunto próprio de X Seja então A= C = [0,1/2] faça C_1 = f^(-1) (C) = [0,1/4] U [3/4,1] para um determinado valor de u faça C_2 = f^(-1) (C_1) faça C_3 = f^(-1) (C_2) ... agora faça f^(-1) (C_n) inter ... inter f^(-1)(C_1) inter f^(-1) (C) com n -> oo O conjunto assim obtido é um conjunto compacto. O leitor astuto perceberá que este é o conjunto de Cantor. E ele satisfaz as condições do teorema: é invariante por f e também próprio. Falta só provar o teorema :) []s Ronaldo Luiz Alonso > > A afirmacao acima pode nao ser verdadeira se X nao for compacto. > > Na terminologia da Topologia, diz-se que (X, T), um conjunto X e uma > topologia T em X, eh um espaco de Hausdorff se, para todos elementos > distintos x1 e x2 de X, existirem vizinhanca disjuntas V1 de x1 e V2 de x2, > isto eh, elementos distintos podem ser separados por vizinhancas. Todo espaco > metrico eh de Hausdforff. > > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================